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By Hans-Jürgen Schneider

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Beweis. Die Eindeutigkeit ist klar, es muß ϕ(n) = ϕ(1 + 1 + · · · + 1) = xn für alle n ∈ N sein und ϕ(−n) = x−n . Für die Existenz definiere ϕ durch ϕ(n) := xn und ϕ(n) := x−n für n ∈ N. Diese Abbildung ist nach den Rechenregeln für Potenzen in Gruppen ein Homomorphismus. 2. Ist R ein Ring, so gibt es genau einen Ringhomomorphismus ϕ : Z → R. Beweis. Nach Definition muß ϕ(1) = 1R sein. Da ein Ringhomomorphismus auch ein Homomorphismus der additiven Gruppen ist, ist damit ϕ nach 1. schon eindeutig festgelegt.

Beweis des Satzes. Es sei M := {U M | U Untermodul} die Menge der echten Untermoduln von M ; es ist M = ∅ (denn {0} ∈ M ), und die Inklusion von Mengen ist eine Halbordnung auf M . Ein bezüglich dieser Halbordnung maximaler echter Untermodul ist auch maximal im Sinne der obigen Definition, es genügt also zum Beweis, die Voraussetzung des Zornschen Lemmas zu überprüfen. h. {Mι | ι ∈ I} ⊂ M sei eine totalgeordnete Teilmenge. Wir zeigen, daß dann N := ι∈I Mι eine obere Schranke für die Mι ist. N ist ein Untermodul: es ist 0 ∈ N , da 0 ∈ Mι für jedes beliebige ι ∈ I ist.

Dann gilt x ∼ x, da x = ex. Gilt x ∼ y, so gilt auch y ∼ x, denn aus y = gx folgt x = g −1 y. h. gibt es g, h ∈ G mit y = gx, z = hy, so ist z = hy = hgx, also x ∼ z. (b) Dies ist gerade die Definition der Bahnen. (c) Es seien g, h ∈ Stab x. Dann ist gh ∈ Stab x, denn es ist (gh)x = g(hx) = gx = x. Außerdem ist g −1 ∈ Stab x, denn g −1 x = g −1 gx = x. h. wenn g −1 hgx = x ist. Dies ist äquivalent zu g −1 hg ∈ Stab(x), also zu h ∈ g Stab(x)g −1 . 2. Ist H ⊂ G eine Untergruppe, so sind die Bahnen bei der Rechtsoperation G × H → G durch Translation (also g • h := gh, wobei rechts das Produkt in G steht) gerade die Linksnebenklassen xH, x ∈ G.

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by Jeff
4.2

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