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By Arnaudies

ISBN-10: 2729858229

ISBN-13: 9782729858223

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F Nous allons maintenant interpréter (10). Posons: a =l~y a 7 = 1 4- - a Intégrales eulériennes On a: 'y — a — P = donc, d’après l’hypothèse, 5^(7 - a — P) > 0 . Par définition, on a F{a,p,y, z) = Z^n=o >où B q = 1 et où, pour tout n > 1 : n! n\x + an //„(7) n\ x +an x-\-an \ n J formule qui reste vraie pour n = 0. En revenant à (10), on voit donc que la série converge (ce qui était connu a priori puisque (a, ^ ,7 G H), et que sa somme vérifie C{x, y, a) = ^ • En remarquant que les hypothèses impliquent ^ ^ Z_ , et en appliquant le résultat obtenu en 2) ci-dessus, on obtient donc: (11) (H ) C ( x y a) = - F ( l ~ y - - - + = L(x,y,a) a 'a 'a ^ ) x T (1) T ( f + ï ) En remplaçant T ( | + l) dans (11) par ^ F ( - ) , on obtient enfin la formule d ’Euler: 1 Г (£) Г (У-) C(x,y,a) = - — ^ (12) Remarque 3: En choisissant ci-dessus {x, y, a) de façon que a = 1, on retrouve la formule eulérienne bien connue C{x,y,l) = , valable pour Щх) > 0 et 3î(y) > 0: rappelons que dans ces conditions, C{x,y,l) se note B{x,y) , où B désigne la bien connue fonction B d ’Euler.

Soit une subdivision 5 = (¿¿)i(i - f) - V>(a: -

42 Chapitre 10, problème 76 b ) Montrer que les intégrales r+ o o A —t u= / A —2t y+oo^-i_^-xi —t ------ ^ d i = /. ■dt - r r r i ont un sens, et qu’on a J{x) = U - ^V{x) . c ) Montrer que V'(x) = i'(x) - ^ • d ) En remplaçant i_^-i pour t > 0 par ^ montrer que (7 = - 7 , et en déduire que J (x) = utilisant 2), • Par dérivation sous le signe somme, pour x G , déduire de ce qui précède la formule de Plana: r+ 00 / L o g ( r ( x ) ) = y^ ^-x t _ 0 -i \ [(a;-l)e-‘+ ^ ¿f j y 5 ”; Soit des réels x et y tels que x > 0 , y > 0 et x —2 y > 0 .

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Analyse : Intégrale, séries de Fourier, équations différentielles by Arnaudies


by David
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